Question

18．在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)$α∈[0，\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}，π$）），以原點為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）若曲線C與直線交于A，B兩點，且|AB|=$\sqrt{6}$，求tanα的值．

Answer 1

分析 （1）由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t得y=（x+1）tanα．曲線C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），展開得ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標方程．
（2）由圓C的圓心為C（1，1），半徑r=$\sqrt{2}$．利用點到直線的距離公式和弦長公式可得：圓心到直線l的距離d=$\frac{|2tanα-1|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$=$\sqrt{2-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$，化簡解出即可．

解答 解：（1）由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t得y=（x+1）tanα．
曲線C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），展開得ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，化為直角坐標方程得x²+y²-2x-2y=0，即（x-1）²+（y-1）²=2．
（2）∵圓C的圓心為C（1，1），半徑r=$\sqrt{2}$．
則圓心到直線l的距離d=$\frac{|2tanα-1|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$=$\sqrt{2-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
化簡得7tan²α-8tanα+1=0，解之得tanα=1或tanα=$\frac{1}{7}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、弦長公式、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．