Question

20．已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，若a²-a-$\sqrt{3}$b-$\sqrt{3}$c=0，a+$\sqrt{3}$b-$\sqrt{3}$c+2=0，則△ABC中最大角的余弦值為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 分別將兩式相加減得出a與b，a與c的關系，使用作差法判斷最大邊，利用余弦定理解出cosC．

解答 解：∵a²-a-$\sqrt{3}$b-$\sqrt{3}$c=0，a+$\sqrt{3}$b-$\sqrt{3}$c+2=0，
兩式相加得：a²-2$\sqrt{3}c$+2=0，∴c=$\frac{{a}^{2}+2}{2\sqrt{3}}$．
兩式相減得：a²-2a-2$\sqrt{3}b$-2=0，∴b=$\frac{{a}^{2}-2a-2}{2\sqrt{3}}$．
顯然c＞b．
由b=$\frac{{a}^{2}-2a-2}{2\sqrt{3}}$＞0得a²-2a-2＞0，解得a＞1+$\sqrt{3}$或a$＜1-\sqrt{3}$（舍）．
∴c-a=$\frac{{a}^{2}+2}{2\sqrt{3}}$-a=$\frac{（a-\sqrt{3}）^{2}-1}{2\sqrt{3}}$＞0．
∴c＞a．
∴△ABC中，C為最大角．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+（\frac{{a}^{2}-2a-2}{2\sqrt{3}}）^{2}-（\frac{{a}^{2}+2}{2\sqrt{3}}）^{2}}{2a•\frac{{a}^{2}-2a-2}{2\sqrt{3}}}$=$\frac{\frac{-{a}^{3}+2{a}^{2}+2a}{3}}{\frac{{a}^{3}-2{a}^{2}-2a}{\sqrt{3}}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查余弦定理的應用，不等式的解法，根據(jù)正弦定理判斷最大邊為c是解題的關鍵，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．