Question

15．已知橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)在圓x²+y²=4上．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點(diǎn)P（-3，2），若斜率為1的直線l與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn)，試探討以AB為底邊的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓G的右焦點(diǎn)為F（c，0），由題意可得：b=c，且b²+c²=8，由此能求出橢圓G的方程．
（Ⅱ）以AB為底的等腰三角形ABP存在．設(shè)斜率為1的直線l的方程為y=x+m，代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$中，得：3x²+4mx+2m²-8=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓G的右焦點(diǎn)為F（c，0），
由題意可得：b=c，且b²+c²=8，∴b²=c²=4，
故a²=b²+c²=8，
∴橢圓G的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$（4分）
（Ⅱ）以AB為底的等腰三角形ABP存在．理由如下
設(shè)斜率為1的直線l的方程為y=x+m，代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$中，
化簡得：3x²+4mx+2m²-8=0，①（6分）
因為直線l與橢圓G相交于A，B兩點(diǎn)，
∴△=16m²-12（2m²-8）＞0，
解得-2$\sqrt{3}$$＜m＜2\sqrt{3}$，②（8分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-8}{3}$．③
于是AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀）滿足${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2m}{3}$，${y}_{0}={x}_{0}+m=\frac{m}{3}$．
已知點(diǎn)P（-3，2），若以AB為底的等腰三角形ABP存在，
則k_PM=-1，即$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}+3}$=-1，④，將M（-$\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}$）代入④式，
得m=3∈（-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）滿足②（10分）
此時直線l的方程為y=x+3．（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．