Question

已知集合A={x|x²-ax+a²-19=0}，B={x|x²-5x+6=0}是否存在實數(shù)a使得集合A，B能同時滿足以下三個條件：①A≠∅；②A∪B=B；③A≠B．若存在，求出這樣的實數(shù)a；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：集合的包含關系判斷及應用

專題：集合

分析：集合B可以求出，由A是非空集合，且A中所有元素應是B中的元素，同時A中的元素可以是唯一的，解題時可基于以上思路進行．

解答： 解：由已知條件得，B={2，3}，又A∪B=B，且A≠B，
∴A?B．   （2分）
又∵A≠∅，
∴A={2}或A={3}
當A={2}時，
將x=2代入方程x²-ax+a²-19=0，得a=-3或a=5，（4分）
若a=-3，則A={2，-5}；
若a=5，則A={2，3}，
均與A={2}矛盾，
∴a≠-3且a≠5；．          （7分）．
當A={3}時，
將x=3代入方程x²-ax+a²-19=0，得a=-2或a=5，（8分）
若a=-2，則A={3，-5}；
若a=5，則A={2，3}，
均與A={3}矛盾，
∴a≠-2且a≠5．                    （11分）
綜上所述，滿足條件的實數(shù)a不存在．   （12分）

點評：本題考查的知識點是集合包含關系判斷及應用，集合元素的互異性，難度不大，屬于基礎題．