Question

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求B點(diǎn)在AM上，D點(diǎn)在AN上，且對(duì)角線MN過(guò)C點(diǎn)，已知AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則DN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（Ⅱ）當(dāng)DN的長(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形花壇AMPN的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)DN的長(zhǎng)為x（x＞0）米，則AN=（x+2）米，表示出矩形的面積，利用矩形AMPN的面積大于32平方米，即可求得DN的取值范圍．
（Ⅱ）化簡(jiǎn)矩形的面積，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)DN的長(zhǎng)為x（x＞0）米，則AN=（x+2）米
∵DN：AN=DC：AM，
∴AM=

3(x+2)

x

，…（2分）
∴S_AMPN=AN•AM=

3(x+2)2

x

．
由S_AMPN＞32，得

3(x+2)2

x

＞32，又x＞0，
得3x²-20x+12＞0，解得：0＜x＜1或x＞4，
即DN長(zhǎng)的取值范圍是（0，1）∪（4，+∞）． …（6分）
（Ⅱ）矩形花壇AMPN的面積為y=

3(x+2)2

x

=3x+

12

x

+12≥2

3x• 12 x

+12=24…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)3x=

12

x

，即x=2時(shí)，矩形花壇AMPN的面積取得最小值24．
故DN的長(zhǎng)為2米時(shí)，矩形AMPN的面積最小，最小值為24平方米．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查根據(jù)題設(shè)關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，并求出處變量的取值范圍；考查利用基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵是確定矩形的面積．