Question

11．已知P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x²+y²-2x-2y+1=0的切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是（　�。�

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $4\sqrt{2}$
• C． 6
• D． 不存在

Answer 1

分析 由圓的方程求得圓心C，半徑r，“若四邊形面積最小，則圓心與點(diǎn)P的距離最小，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長(zhǎng)PA，PB最小”，最后將四邊形面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形面積求解．

解答 解：由x²+y²-2x-2y+1=0，得（x-1）²+（y-1）²=1，
∴圓心C（1，1），半徑r=1．
根據(jù)題意，若四邊形面積最小，當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長(zhǎng)PA，PB最�。�
∵圓心到直線的距離為d=$\frac{|3+4+8|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=3$，
∴PA=PB=$\sqrt{oroqnzc^{2}-{r}^{2}}=2\sqrt{2}$．
故四邊形PACB面積的最小值為 2S_△PAC=2×$\frac{1}{2}$×PA×r=$2\sqrt{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確：“若四邊形面積最小，則圓心與點(diǎn)P的距離最小”，屬于中檔題．