Question

1．如圖，在直角梯形SABC中，∠B=∠C=$\frac{π}{2}$，D為邊SC上的點(diǎn)，且AD⊥SC，現(xiàn)將△SAD沿AD折起到達(dá)PAD的位置（折起后點(diǎn)S記為P），并使得PA⊥AB．
（1）求證：PD⊥平面ABCD；
（2）已知PD=AD，PD+AD+DC=6，G是AD的中點(diǎn)，當(dāng)線段PB取得最小值時(shí)，則在平面PBC上是否存在點(diǎn)F，使得FG⊥平面PBC？若存在，確定點(diǎn)F的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明PD⊥平面ABCD；
（2）根據(jù)線面垂直的判定定理以及直線平行的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．

解答 證明：（1）∵PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD，
∵PD⊥AD，AD∩AB=A，
∴PD⊥平面ABCD
（2）設(shè)PD=x，則AD=x，DC=6-2x，
∴PB²=x²+x²+（6-2x）²=6（x-2）²+12，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，PB²取得最小值，
即PB取得最小值，
取PC的中點(diǎn)M，PB的中點(diǎn)N，
則DM⊥平面PBC，
∵四邊形DMNG是平行四邊形，
∴GN∥DM，
GN⊥平面PBC，
∴在平面PBC上存在點(diǎn)F，即PB的中點(diǎn)，使FG⊥平面PBC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面垂直的定義和判定定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．