Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lo{g}_{2}（1-x），-1≤x＜0\\{x}^{3}-3x+2，0≤x≤a\end{array}\right.$的值域是[0，2]，則實數(shù)a的取值范圍是$[1，\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式容易判斷f（x）在[-1，0）上單調(diào)遞減，從而求出x∈[-1，0）時，0＜f（x）≤1，而當(dāng)x∈[0，a]時，通過求導(dǎo)便可判斷出f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在（1，a]上單調(diào)遞增，且0≤x≤1時，0≤f（x）≤2，并能求出$f（\sqrt{3}）=2$，從而便可根據(jù)f（x）的值域為[0，2]得出a的取值范圍．

解答 解：（1）-1≤x＜0時，f（x）=log₂（1-x）為減函數(shù)；
∴f（0）＜f（x）≤f（-1）；
即0＜f（x）≤1；
（2）0≤x≤a時，f（x）=x³-3x+2，f′（x）=3（x²-1）；
∴x∈[0，1）時，f′（x）＜0，x∈（1，a]時，f′（x）＞0；
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在（1，a]上單調(diào)遞增，且x=1時取最小值0；
∴x∈[0，1]時，f（x）∈[0，2]；
∵f（x）的值域為[0，2]，且$f（\sqrt{3}）=2$；
∴$1≤a≤\sqrt{3}$；
∴實數(shù)a的取值范圍是$[1，\sqrt{3}]$．
故答案為：$[1，\sqrt{3}]$．

點評 考查函數(shù)值域的概念及求法，復(fù)合函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域的方法，以及根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)最值的方法．