Question

14．設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-x²-x-a，若函數(shù)f（x）過點A（1，0），求函數(shù)在區(qū)間[-1，3]上的最值．

Answer 1

分析 先求出a，得到函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值．

解答 解：a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-x²-x-a，若函數(shù)f（x）過點A（1，0），
可得1-1-1-a=0，解得a=-1．
函數(shù)f（x）=x³-x²-x+1．
f′（x）=3x²-2x-1，
令f′（x）=0，則3x²-2x-1=0，
解得x₁=-1，x₂=$-\frac{1}{3}$．
列表如下：

x	-1	（-1，-$\frac{1}{3}$）	-$\frac{1}{3}$	（-$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	0	遞增	$\frac{38}{27}$	遞減	0	遞增	16

∴函數(shù)f（x）=x³-x²-x+1在x∈[-1，3]上的最大值為16，最小值為0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．