Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+1}$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）定義域容易求出為{x|x≠-1}；
（2）分離常數(shù)得到f（x）=$1-\frac{1}{x+1}$，從而可以看出f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，證明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

解答 解：（1）要使f（x）有意義，則：x≠-1；
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠-1}；
（2）$f（x）=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$；
∴x＞0時，x增大，$\frac{1}{x+1}$減小，f（x）增大；
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，證明如下：
設(shè)x₁＞x₂＞0，則：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{x}_{2}+1}-\frac{1}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴x₁-x₂＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

點評 考查函數(shù)定義域的概念及其求法，分離常數(shù)法的運用，根據(jù)增函數(shù)的定義判斷并證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分．