Question

已知關(guān)于x的方程

x

a

+

b

x

=1，其中a，b為實(shí)數(shù)．
（1）若x=1-

3

i是該方程的根，求a，b的值；
（2）當(dāng)

b

a

＞

1

4

且a＞0時(shí)，證明：該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：推理和證明

分析：（1）把x=1-

3

i代入方程，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件列出方程組，即可求a，b的值；
（2）化簡(jiǎn)原方程為二次函數(shù)的形式，利用反證法，假設(shè)方程有實(shí)數(shù)根，通過(guò)韋達(dá)定理，結(jié)合

b

a

＞

1

4

且a＞0，推出矛盾結(jié)論，即可證明：該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

解答： 解：（1）將x=1-

3

i代入

x

a

+

b

x

=1，化簡(jiǎn)得(

1

a

+

b

4

)+(

3

4

b-

3

a

)i=1
所以

1 a + b 4 =1 3 4 b- 3 a =0

所以a=b=2…（6分）
（2）證明：原方程化為x²-ax+ab=0
假設(shè)原方程有實(shí)數(shù)解，那么△=（-a）²-4ab≥0即a²≥4ab
因?yàn)閍＞0，所以

b

a

≤

1

4

，這與題設(shè)

b

a

＞

1

4

矛盾
所以假設(shè)錯(cuò)誤，原方程有實(shí)數(shù)根正確．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)方程的應(yīng)用復(fù)數(shù)相等，以及反證法證明問(wèn)題的基本方法，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力．