Question

設為數(shù)列的前項和，對任意的N，都有為常數(shù)，且．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設數(shù)列的公比與函數(shù)關系為，數(shù)列滿足，點落在 上，，N，求數(shù)列的通項公式；

（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列的前項和，使恒成立時，求的最小值．[

 

Answer 1

（1）證明過程詳見試題分析； （2）數(shù)列的通項公式為；

（3），的最小值為-6．

【解析】

試題分析：（1）按照等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）由（1）知與函數(shù)關系為，∴是首項為，公差為1的等差數(shù)列，通項公式可求；

（3）先用錯位相減法求出數(shù)列的前項和，即，化簡得恒成立，由單調性知當時，右邊最大，所以，的最小值為-6．

（1）證明：當時，，解得． 1分

當時，． 2分

即．

∵為常數(shù)，且，∴． 3分

∴數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列． 4分

（2）【解析】
由（1）得，，． 5分

∵

∴，即．

∴是首項為，公差為1的等差數(shù)列． 7分

∴，即（）． 8分

（3）【解析】
由（2）知，則． 9分

所以，

即， ①

， ②

②－①得，

故．

，化簡得恒成立，由單調性知當時，右邊最大，所以，的最小值為-6． 14分

考點：數(shù)列綜合應用、函數(shù)與方程思想、恒成立問題．