Question

5．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C的方程是x²+y²-2x-4y=0，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求直線l與圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)為M，N，求M，N兩點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π），以及△MON的面積．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去t可得直角坐標(biāo)方程：x-2y+3=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得極坐標(biāo)方程．圓C的方程是x²+y²-2x-4y=0，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得極坐標(biāo)方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ρ（cosθ-2sinθ）+3=0}\\{ρ=2（cosθ+2sinθ）}\end{array}\right.$，消去ρ可得：可得$sinθ=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，由ρ≥0，0≤θ＜2π，可得極坐標(biāo)．進(jìn)而得出△MON的面積S．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去t可得直角坐標(biāo)方程：x-1=2（y-2），即x-2y+3=0，
可得極坐標(biāo)方程：ρcosθ-2ρsinθ+3=0．
圓C的方程是x²+y²-2x-4y=0，
把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得極坐標(biāo)方程：
ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ=0，即ρ=2cosθ+4sinθ．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ρ（cosθ-2sinθ）+3=0}\\{ρ=2（cosθ+2sinθ）}\end{array}\right.$，消去ρ可得：
2（cos²θ-4sin²θ）+3=0，
可得$sinθ=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由ρ≥0，0≤θ＜2π，可得：
$\left\{\begin{array}{l}{ρ=3\sqrt{2}}\\{θ=\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{ρ=\sqrt{2}}\\{θ=\frac{3π}{4}}\end{array}\right.$．
∴點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為：$（3\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，$（\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$．
∴∠MON=$\frac{π}{2}$，
∴△MON的面積S=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}$=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化為普通方程、三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．