Question

數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n滿足2kS_n-（2k+1）S_n-1=2k（常數(shù)k＞0，n=2，3，4，…）
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為f（k），作數(shù)列{b_n}，使b₁=3，b_n=f（

1

bn-1

）（n=2，3，4，…）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）設(shè)c_n=b_n-2，若存在m∈N^*，使

lim

n→∞

（c_mc_m+1+c_m+1c_m+2+…+c_nc_n+1）＜

1

2007

，試求m的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）在數(shù)列遞推式中取n=n+1得另一遞推式，作差后即可證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）由（1）中求出的等比數(shù)列的公比f（k）結(jié)合b_n=f（

1

bn-1

）得到關(guān)于數(shù)列{b_n}的遞推式，然后構(gòu)造等比數(shù)列{b_n-2}，求其通項公式后可得數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）把數(shù)列{b_n}的通項公式代入c_n=b_n-2，求出cncn+1=

1

2n-1

•

1

2n

=

1

22n-1

，然后再求c_mc_m+1+c_m+1c_m+2+…+c_nc_n+1，取極限后求解指數(shù)不等式得答案．

解答： （1）證明：由2kS_n-（2k+1）S_n-1=2k  ①，得
2kS_n+1-（2k+1）S_n=2k  ②，
②-①得：2ka_n+1-（2k+1）a_n=0（n≥2），
即

an+1

an

=

2k+1

2k

（n≥2），
又a₁=1，
∴2k（1+a₂）-（2k+1）=2k，a2=

2k+1

2k

．
∴

a2

a1

=

2k+1

2k

．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）由（1）知f（k）=

2k+1

2k

，
∴bn=

2 bn-1 +1

2 bn-1

=

bn-1+2

2

=

1

2

bn-1+1，
則bn-2=

1

2

(bn-1-2)，
∵b₁=3，
∴數(shù)列{b_n-2}構(gòu)成以1為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴bn-2=(

1

2

)n-1．
則bn=(

1

2

)n-1+2；
（3）由c_n=b_n-2，得cn=(

1

2

)n-1，
∴cncn+1=

1

2n-1

•

1

2n

=

1

22n-1

．
則c_mc_m+1+c_m+1c_m+2+…+c_nc_n+1=

1

22m-1

+

1

22m+1

+…+

1

22n-1

=

1 22m-1 (1- 1 4n-m+1 )

1- 1 4

=

4

3

•

1

22m-1

(1-

1

4n-m+1

)
∴

lim

n→∞

（c_mc_m+1+c_m+1c_m+2+…+c_nc_n+1）=

lim

n→∞

4

3

•

1

22m-1

(1-

1

4n-m+1

)
=

4

3

•

1

22m-1

．
由

lim

n→∞

（c_mc_m+1+c_m+1c_m+2+…+c_nc_n+1）＜

1

2007

，得

4

3

•

1

22m-1

＜

1

2007

，即2^2m-1＞2676＞1024=2¹⁰．
∴2m-1＞10，m＞

11

2

，
又m∈N^*，
∴m的最小值為6．

點評：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了數(shù)列極限的求法，考查了指數(shù)不等式的解法，是壓軸題．