Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

ax³-x²（a＞0）在（0，3）內(nèi)不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、a＞

  2

  3

• B、0＜a＜

  2

  3

• C、0＜a＜

  1

  2

• D、

  2

  3

  ＜a＜1

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=

1

3

ax³-x²（a＞0）在（0，3）內(nèi)不單調(diào)?函數(shù)f（x）=

1

3

ax³-x²（a＞0）在（0，3）內(nèi)存在極值?f′（x）=0在（0，3）內(nèi)有解，即ax²-2x=0在（0，3）內(nèi)有解．即可得出a的取值范圍．

解答： 解：f′（x）=ax²-2x．（a＞0）．
∵函數(shù)f（x）=

1

3

ax³-x²（a＞0）在（0，3）內(nèi)不單調(diào)，
∴函數(shù)f（x）=

1

3

ax³-x²（a＞0）在（0，3）內(nèi)存在極值，
∴f′（x）=0在（0，3）內(nèi)有解，即ax²-2x=0在（0，3）內(nèi)有解．
∵x≠0，∴可化為ax-2=0，∴a=

2

x

，
∵x∈（0，3），∴

2

x

＞

2

3

，即a＞

2

3

．
∴實數(shù)a的取值范圍是a＞

2

3

．
故選：A．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．