Question

（理科）已知函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意的x∈R都有f（

2

5

+x）+f（

3

5

-x）=2成立，則f（

1

8

）+f（

2

8

）+…+f（

7

8

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意得兩個(gè)式子相加可得[f（

1

8

）+f（

7

8

）]+[f（

2

8

）+f（

6

8

）]+…+[f（

7

8

）+f（

1

8

）]=2M，通過(guò)f（

2

5

+x）+f（

3

5

-x）=2，求解即可．

解答： 解：設(shè)f（

1

8

）+f（

2

8

）+…+f（

7

8

）=M…①
所以f（

7

8

）+f（

6

8

）+…+f（

1

8

）=M…②
①+②可得[f（

1

8

）+f（

7

8

）]+[f（

2

8

）+f（

6

8

）]+…+[f（

7

8

）+f（

1

8

）]=2MM
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）滿足對(duì)任意的x∈R都有f（

2

5

+x）+f（

3

5

-x）=2成立
所以14=2M即M=7
所以f（

1

8

）+f（

2

8

）+…+f（

7

8

）=7
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的對(duì)稱性求和，解決本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)函數(shù)與和式的對(duì)稱性，利用倒敘相加法求和．此法在數(shù)列部分常見，也是一種求和的重要方法．