【題目】在四棱錐P-ABCD,四邊形ABCD是邊長為3的正方形,平面平面,于點O,,點E在棱PB上,.
(1)當(dāng)時,求直線AE與平面PCD所成角的正弦值;
(2)若二面角B-PC-D的余弦值為,求PO的長.
【答案】(1);(2)1.
【解析】
(1)先證明平面,然后以OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,算出和平面PCD的法向量的坐標(biāo)即可
(2)設(shè),分別算出平面PCD和平面BPC的法向量即可.
(1)平面平面,,平面平面
平面
平面.
以OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,
則,,,,,
,,.
設(shè)平面PCD的法向量,
即取.
設(shè)直線AE與平面PCD所成角為,則,
直線AE與平面PCD所成角的正弦值為.
(2)設(shè),則,,,
,.
設(shè)平面PCD法向量,則
取,同理可得平面BPC法向量,
.
,解得.
當(dāng)二面角B─PC─D的余弦值為時,.
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【題目】已知函數(shù),其中.
(I)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若R上有兩個不同的零點,且,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x),若存在x1,x2∈R且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[3,+∞)B.(3,+∞)C.(﹣∞,3)D.(﹣∞,3]
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+acosx.
(1)求函數(shù)f(x)的奇偶性.并證明當(dāng)|a|≤2時函數(shù)f(x)只有一個極值點;
(2)當(dāng)a=π時,求f(x)的最小值;
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【題目】把4個相同的小球全部放入2個不同的盒子里,每個盒子至少放1個球,不同的放法數(shù)記為;把4個不同的小球全部放入2個不同的盒子里,每個盒子至少放1個球,不同的放法數(shù)記為.現(xiàn)在從到的所有整數(shù)中(包括和兩個整數(shù))抽取3個數(shù),則這3個數(shù)之和共有( )種結(jié)果.
A.26B.27C.28D.29
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【題目】某廠根據(jù)市場需求開發(fā)三角花籃支架(如圖),上面為花籃,支架由三根細(xì)鋼管組成,考慮到鋼管的受力和花籃質(zhì)量等因素,設(shè)計支架應(yīng)滿足:①三根細(xì)鋼管長均為1米(粗細(xì)忽略不計),且與地面所成的角均為;②架面與架底平行,且架面三角形與架底三角形均為等邊三角形;③三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點分三根細(xì)鋼管上、下兩段之比均為.定義:架面與架底的距離為“支架高度”,架底三角形的面積與“支架高度”的乘積為“支架需要空間”.
(1)當(dāng)時,求“支架高度”;
(2)求“支架需要空間”的最大值.
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【題目】在抗擊新冠肺炎疫情期間,很多人積極參與了疫情防控的志愿者活動.各社區(qū)志愿者服務(wù)類型有:現(xiàn)場值班值守,社區(qū)消毒,遠(yuǎn)程教育宣傳,心理咨詢(每個志愿者僅參與一類服務(wù)).參與A,B,C三個社區(qū)的志愿者服務(wù)情況如下表:
社區(qū) | 社區(qū)服務(wù)總?cè)藬?shù) | 服務(wù)類型 | |||
現(xiàn)場值班值守 | 社區(qū)消毒 | 遠(yuǎn)程教育宣傳 | 心理咨詢 | ||
A | 100 | 30 | 30 | 20 | 20 |
B | 120 | 40 | 35 | 20 | 25 |
C | 150 | 50 | 40 | 30 | 30 |
(1)從上表三個社區(qū)的志愿者中任取1人,求此人來自于A社區(qū),并且參與社區(qū)消毒工作的概率;
(2)從上表三個社區(qū)的志愿者中各任取1人調(diào)查情況,以X表示負(fù)責(zé)現(xiàn)場值班值守的人數(shù),求X的分布列;
(3)已知A社區(qū)心理咨詢滿意率為0.85,B社區(qū)心理咨詢滿意率為0.95,C社區(qū)心理咨詢滿意率為0.9,“,,”分別表示A,B,C社區(qū)的人們對心理咨詢滿意,“,,”分別表示A,B,C社區(qū)的人們對心理咨詢不滿意,寫出方差,,的大小關(guān)系.(只需寫出結(jié)論)
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【題目】某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間購買二手房情況,首先隨機(jī)抽樣其中200名購房者,并對其購房面積(單位:萬元/平方米,進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計,制成了如圖1所示的頻率分布直方圖,接著調(diào)查了該市2018年1月至2019年1月期間當(dāng)月在售二手房均價(單位:萬元平方米),制成了如圖2所示的散點圖(圖中月份代碼1-13分別對應(yīng)2018年1月至2019年1月).
(1)試估計該市市民的平均購房面積.
(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購房面積位于的40位市民中隨機(jī)取4人,再從這4人中隨機(jī)抽取2人,求這2人的購房面積恰好有一人在的概率.
(3)根據(jù)散點圖選和兩個模型進(jìn)行擬合,經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程,分別為和,并得到一些統(tǒng)計量的值,如下表所示:
0.000591 | 0.000164 | |
0.00050 |
請利用相關(guān)指數(shù)判斷哪個模型的擬合效果更好,并用擬合效果更好的模型預(yù)測2019年6月份的二手房購房均價(精確到0.001)./span>
參考數(shù)據(jù):,,,,,,,,
參考公式:.
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【題目】某科研團(tuán)隊研發(fā)了一款快速檢測某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測的準(zhǔn)確性,質(zhì)檢部門從某地區(qū)(人數(shù)眾多)隨機(jī)選取了位患者和位非患者,用該試劑盒分別對他們進(jìn)行檢測,結(jié)果如下:
(1)從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取一人,對其檢測一次,估計此患者檢測結(jié)果為陽性的概率;
(2)從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取人,各檢測一次,假設(shè)每位患者的檢測結(jié)果相互獨立,以表示檢測結(jié)果為陽性的患者人數(shù),利用(1)中所得概率,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)假設(shè)該地區(qū)有萬人,患病率為.從該地區(qū)隨機(jī)選取一人,用該試劑盒對其檢測一次.若檢測結(jié)果為陽性,能否判斷此人患該疾病的概率超過?并說明理由.
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