Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（I）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若R上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）見(jiàn)解析（Ⅱ）．

【解析】

（I）求導(dǎo)得,討論和即可解得單調(diào)區(qū)間;

（Ⅱ）要使得R上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，由（I）可知取得極小值，極小值小于0,可解得.借助引理1：;引理2：證明存在，使．，使．即證得符合題意.

（I）．

當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，由解得，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

綜上，時(shí)，在R上單調(diào)遞減；

時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）引理1：．

證明：令，

則，，

在上單調(diào)遞增，又，

．在上單調(diào)遞增，

又，．

引理2：．

證明：．

令，

則，在上單調(diào)遞減．

，故得證．

下求實(shí)數(shù)的取值范圍．由（1）知要使有兩個(gè)零點(diǎn)，，

此時(shí)，．

令，解得．

又，，使．

由引理1和引理2知：

，．

使

．

，使．

綜上：．