Question

13．設(shè)點(diǎn)P（m，n）在圓x²+y²=2上，l是過點(diǎn)P的圓的切線，切線l與函數(shù)y=x²+x+k（k∈R）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）若k=-2，點(diǎn)P恰好是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個(gè)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）由圓的切線的性質(zhì)可得切線的方程，代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解方程可得P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個(gè)．即有P為AB的中點(diǎn)，且OP⊥AB，即l是圓的切線，且AB的中點(diǎn)為切點(diǎn)．聯(lián)立切線的方程和拋物線的方程，運(yùn)用判別式大于0，結(jié)合（I）的三個(gè)點(diǎn)，代入判別式，即可得到所求k的范圍．

解答 解：（I）由題意可得m²+n²=2，
由切線的性質(zhì)可得l的斜率為-$\frac{m}{n}$，
可得切線的方程為mx+ny=2，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立曲線方程y=x²+x-2，可得nx²+（n+m）x-2n-2=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{n+m}{n}$，
由點(diǎn)P恰好是線段AB的中點(diǎn)，可得-$\frac{n+m}{n}$=2m，
即有n+m+2mn=0，又m²+n²=2，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{n=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\\{n=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．
代入△=（n+m）²+4n（2n+2）＞0，可得
P的坐標(biāo)為（-1，-1），或（$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）；
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個(gè)．
即有P為AB的中點(diǎn)，且OP⊥AB，即l是圓的切線，且AB的中點(diǎn)為切點(diǎn)．
由$\left\{\begin{array}{l}{mx+ny=2}\\{y={x}^{2}+x+k}\end{array}\right.$，可得nx²+（n+m）x+kn-2=0，
同（I）解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{n=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\\{n=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．
滿足△=（n+m）²-4n（kn-2）＞0，即有k＜$\frac{1+mn+4n}{2{n}^{2}}$，
代入點(diǎn)的坐標(biāo)可得$\left\{\begin{array}{l}{k＜-1}\\{k＜-1+\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{k＜-1-\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
即有k的范圍是k＜-1-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
綜上可得，存在k＜-1-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．