Question

13．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，經(jīng)過點F作傾斜角為135°的直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為M，直線AB與OM的夾角為θ，且tanθ=3，求這個橢圓的離心率．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀）．k_AB=-1．代入橢圓方程并且相減可得：$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=k_OM，由于直線AB與OM的夾角為θ，且tanθ=3，利用“到角公式”，解得k_OM，再利用離心率計算公式即可得出．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀），k_AB=-1．
代入橢圓方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}$=1，
兩式相減可得：$\frac{{x}_{0}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{0}}{^{2}}$=0，
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=k_OM，
∵直線AB與OM的夾角為θ，且tanθ=3，
∴3=$\frac{{k}_{OM}-（-1）}{1-{k}_{OM}}$，解得k_OM=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴這個橢圓的離心率e=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點差法”、“到角公式”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．