Question

2．已知函數(shù)f（x）滿足：①定義域?yàn)镽；②對(duì)任意x∈R，有f（x+2）=2f（x）；③當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$．若函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}（x≤0）}\\{lnx（x＞0）}\end{array}\right.$，則函數(shù)f（x）-g（x）在區(qū)間[-5，5]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是10．

Answer 1

分析 根據(jù)條件關(guān)系，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，作出f（x）與g（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合判定兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)即可的結(jié)論．

解答 解：∵對(duì)任意x∈R，有f（x+2）=2f（x）；
若x∈[1，3]，則x-2∈[-1，1]，此時(shí)f（x）=2f（x-2）=2$\sqrt{1-（x-2）^{2}}$，
當(dāng)x∈[3，5]，則x-2∈[1，3]，此時(shí)f（x）=2f（x-2）=2$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$，
當(dāng)x∈[-3，-1]，則x+2∈[-1，1]，此時(shí)f（x）=$\frac{1}{2}$f（x+2）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1-（x+2）^{2}}$，
當(dāng)x∈[-5，-3]，則x+2∈[-3，-1]，此時(shí)f（x）=$\frac{1}{2}$f（x+2）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1-（x+4）^{2}}$，
作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象，
由圖象可知，兩個(gè)圖象有10個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)y=f（x）-g（x）在區(qū)間[-5，5]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是10個(gè)，
故答案為：10

點(diǎn)評(píng) 此題考查了函數(shù)與方程的知識(shí)，考查了轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由函數(shù)的三條基本性質(zhì)進(jìn)行分解，從而確定出函數(shù)f（x）在[-5，5]上的分段函數(shù)解析式，作出函數(shù)圖象是本題的突破點(diǎn)．難度較大．