Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=3，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{5{a_n}+1}}$（n∈N^*），則a₂=$\frac{3}{16}$．a(chǎn)_n=$\frac{3}{15n-14}$．

Answer 1

分析 將${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{5{a_n}+1}}$（n∈N^*），兩邊取倒數(shù)得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=5，得出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，先求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通項公式，再求a₂，a_n

解答 解：將${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{5{a_n}+1}}$（n∈N^*），兩邊取倒數(shù)得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=5，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$+（n-1）×5=$\frac{15n-14}{3}$，
a_n=$\frac{3}{15n-14}$，
可得a₂=$\frac{3}{16}$，a_n=$\frac{3}{15n-14}$
故答案為：$\frac{3}{16}；\frac{3}{15n-14}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，等差數(shù)列的判定、通項公式求解．考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造、計算能力．