Question

20．設非零向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是$\frac{5π}{6}$，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|，則$\frac{|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow|}{|\overrightarrow|}$（t∈R）的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 由已知利用模的等式兩邊平方得到|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，將所求平方利用此關系得到關于t的二次函數(shù)解析式，然后求最小值

解答 解：因為非零向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是$\frac{5π}{6}$，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|，
所以|$\overrightarrow{a}$|²=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|²，所以|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，
則（$\frac{|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow|}{|\overrightarrow|}$）²=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{\overrightarrow}^{2}}$=t²-t+$\frac{1}{3}$=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{12}$，
所以當t=$\frac{1}{2}$時，則$\frac{|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow|}{|\overrightarrow|}$的最小值為$\sqrt{\frac{1}{12}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積公式的運用以及向量的平方與模的平方相等的運用，關鍵是將所求轉化為關于t 的二次函數(shù)求最值．屬于中檔題．