Question

3．給出下列四個(gè)命題中：
①命題：$?x∈R，sinx-cosx=\sqrt{2}$； 
②函數(shù)f（x）=2^x-x²有三個(gè)零點(diǎn)；
③對(duì)?（x，y）∈{（x，y）|4x+3y-10=0}，則x²+y²≥4．
④已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{1}{x}$，若△ABC中，角C是鈍角，那么f（sinA）＞f（cosB）
其中所有真命題的序號(hào)是①②③④．

Answer 1

分析 求出sinx-cosx的值域，可判斷①； 畫出y=2^x，y=x²的圖象，數(shù)形結(jié)合，可判斷②；求出圓心到直線的距離，可判斷③；利用函數(shù)的單調(diào)性，判斷兩個(gè)函數(shù)值的大小，可判斷④．

解答 解：$sinx-cosx=\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$，故①對(duì)；
畫出函數(shù)y=2^x，y=x²的圖象如下圖，

可知②對(duì)；
圓x²+y²=4的圓心（0，0）到4x+3y-10=0的距離d=$\frac{|-10|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=2，
故?（x，y）∈{（x，y）|4x+3y-10=0}，均有x²+y²≥4，
故③正確，
因?yàn)?A+B＜\frac{π}{2}$，
故$\frac{π}{2}＞\frac{π}{2}-B＞A＞0$，
所以1＞cosB＞sinA＞0，
又因?yàn)閒（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
故f（sinA）＞f（cosB），即④正確；
故真命題的序號(hào)有：①②③④，
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查了三角函數(shù)的值域，函數(shù)的圖象，點(diǎn)到直線距離公式，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．