Question

18．若函數(shù)f（x）（x∈R）關于$（-\frac{3}{4}，0）$對稱，且$f（x）=-f（x+\frac{3}{2}）$則下列結論：（1）f（x）的最小正周期是3，
（2）f（x）是偶函數(shù)，（3）f（x） 關于$x=\frac{3}{2}$對稱，（4）f（x）關于$（\frac{9}{4}，0）$對稱，正確的有（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)f（x）（x∈R）關于$（-\frac{3}{4}，0）$對稱，且$f（x）=-f（x+\frac{3}{2}）$，分析出函數(shù)的周期性，對稱性和奇偶性，可得答案．

解答 解：∵$f（x）=-f（x+\frac{3}{2}）$，
∴f（x+3）=$f[（x+\frac{3}{2}）+\frac{3}{2}]$=$-f（x+\frac{3}{2}）$=f（x），
故f（x）的最小正周期是3，故（1）正確；
又∵函數(shù)f（x）（x∈R）關于$（-\frac{3}{4}，0）$對稱，
∴f（x）=-$f（-\frac{3}{2}-x）$=$f[（-\frac{3}{2}-x）+\frac{3}{2}]$=f（-x），
即f（x）是偶函數(shù)，故（2）正確；
又∵f（3-x）=f（-x）=f（x），
故f（x） 關于$x=\frac{3}{2}$對稱，故（3）正確；
又∵函數(shù)f（x）（x∈R）關于$（-\frac{3}{4}，0）$對稱，f（x）的最小正周期是3，
故f（x）關于$（\frac{9}{4}，0）$對稱，故（4）正確；
故正確的命題有4個，
故選：D

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的對稱性和函數(shù)的周期性，其中熟練掌握函數(shù)對稱性的法則“對稱變換二倍減”，是解答的關鍵．