Question

已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁和F₂，由四個點M(－a，b)、N(a，b)、F₂和F₁組成了一個高為，面積為3的等腰梯形．

(1)求橢圓的方程；

(2)過點F₁的直線和橢圓交于兩點A，B，求△F₂AB面積的最大值．

Answer 1

解　(1)由條件，得b＝，且×＝3，

所以a＋c＝3.又a²－c²＝3，解得a＝2，c＝1.

所以橢圓的方程＋＝1.

(2)顯然，直線的斜率不能為0，設直線方程為x＝my－1，直線與橢圓交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

聯(lián)立方程消去x，

得(3m²＋4)y²－6my－9＝0，

因為直線過橢圓內的點，無論m為何值，直線和橢圓總相交．

∴y₁＋y₂＝，y₁y₂＝－.

S△F₂AB＝|F₁F₂||y₁－y₂|＝|y₁－y₂|

＝令t＝m²＋1≥1，設y＝t＋，易知t∈時，函數(shù)單調遞減，t∈函數(shù)單調遞增，所以當t＝m²＋1＝1，即m＝0時，y_min＝.

S△F₂AB取最大值3.