Question

橢圓＋＝1(a＞b＞0)與直線x＋y－1＝0相交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ(O為原點(diǎn))．

(1)求證：＋等于定值；

(2)若橢圓的離心率e∈，求橢圓長軸長的取值范圍．

Answer 1

 (1)證明　由消去y，

得(a²＋b²)x²－2a²x＋a²(1－b²)＝0，①

∵直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，∴Δ＞0，

即4a⁴－4(a²＋b²)a²(1－b²)＞0⇒a²b²(a²＋b²－1)＞0，

∵a＞b＞0，∴a²＋b²＞1.

設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則x₁ 、x₂是方程①的兩實(shí)根．

∴x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.②

由OP⊥OQ得x₁x₂＋y₁y₂＝0，

又y₁＝1－x₁，y₂＝1－x₂，

得2x₁x₂－(x₁＋x₂)＋1＝0.③

式②代入式③化簡得a²＋b²＝2a²b².④

∴＋＝2.

(2)解　利用(1)的結(jié)論，將a表示為e的函數(shù)

由e＝⇒b²＝a²－a²e²，

代入式④，得2－e²－2a²(1－e²)＝0.

∴a²＝＝＋.

∵≤e≤，∴≤a²≤.

∵a＞0，∴≤a≤.

∴長軸長的取值范圍是[，]．