Question

如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓T₁與焦點(diǎn)在y軸上的橢圓T₂相切于點(diǎn)M（0，1），且橢圓T₁與T₂的離心率均為

3

2

．
（1）求橢圓T₁與橢圓T₂的方程；
（2）過點(diǎn)M引兩條互相垂直的兩直線l₁、l₂，與兩橢圓T₁，T₂分別交于點(diǎn)A，C與點(diǎn)B，D（均不重合）．若2

MA

•

MC

=3

MB

•

MD

，求l₁與l₂的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用待定系數(shù)法設(shè)方程，根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓T₁與焦點(diǎn)在y軸上的橢圓T₂相切于點(diǎn)M（0，1），且橢圓T₁與T₂的離心率均為

3

2

，建立方程組，求出幾何量，即可求橢圓T₁與橢圓T₂的方程；
（2）設(shè)出直線l₁的方程，分別和橢圓T₁的方程及橢圓T₂方程聯(lián)立，求出A，C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用置換k的方法求出B，D點(diǎn)的坐標(biāo)，利用2

MA

•

MC

=3

MB

•

MD

，求出k的值，則l₁與l₂的方程的方程可求．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓T₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1﹙a＞b＞0﹚，橢圓T₂：

x2

m2

+

y2

n2

=1（n＞m＞0），
則

a=2b b=1 n=2m n=1

，解得

a=2 b=1 m= 1 2 n=1

，
∴橢圓T₁：

x2

4

+y2=1，橢圓T₂：4x²+y²=1；
（2）設(shè)l₁的方程為y=kx+1，
與橢圓T₁聯(lián)立，得：（4k²+1）x²+8kx=0，由x_A≠0，∴x_A=-

8k

4k2+1

，
代入y=kx+1得：y_A=

1-4k2

4k2+1

．
∴A（-

8k

4k2+1

，

1-4k2

4k2+1

）．
同理C（-

2k

k2+4

，

4-k2

k2+4

）．
把A，C中的k置換成-

1

k

，可得B（

8k

k2+4

，

k2-4

k2+4

），D（

2k

4k2+1

，

4k2-1

4k2+1

），
由2

MA

•

MC

=3

MB

•

MD

，可得2[x_Ax_C+y_Ay_C-（y_A+y_C）+1]=3[（x_Bx_D+y_By_D-（y_B+y_D）+1]，
代入計(jì)算可得k=±

6

2

．
∴k=

6

2

，l₁的方程為y=

6

2

x+1；l₂的方程為y=-

6

3

x+1；
k=-

6

2

，l₁的方程為y=-

6

2

x+1，l₂的方程為y=

6

3

x+1．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和方程思想方法，訓(xùn)練了學(xué)生的計(jì)算能力，屬難題．