Question

7．在△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=120°，點O是△ABC的外心，存在實數(shù)λ，μ，使$\overrightarrow{AO}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，則（　　）

• A． λ=$\frac{5}{4}$，μ=$\frac{3}{4}$
• B． λ=$\frac{4}{3}$，μ=$\frac{5}{6}$
• C． λ=$\frac{5}{3}$，μ=$\frac{7}{6}$
• D． λ=$\frac{4}{3}$，μ=$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 如圖所示，過點O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，D，E分別垂足．$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-1．由$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=λ-μ
，可得λ-μ=$\frac{1}{2}$．同理可得：-λ+4μ=2．聯(lián)立解出即可．

解答 解：如圖所示，過點O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，D，E分別垂足．
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=1×2×cos120°=-1
$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=λ-μ
∴λ-μ=$\frac{1}{2}$．
同理可得：-λ+4μ=2．
聯(lián)立解得λ=$\frac{4}{3}$，μ=$\frac{5}{6}$．
故選B．

點評 本題考查了向量共線定理、圓的垂經(jīng)定理、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．