Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x-1}{x}-lnx$
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上的最大值和最小值；
（3）求證：$ln\frac{e^2}{x}≤\frac{1+x}{x}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意定義域；
（2）由（1）可得f（x）的最大值，再計算端點處的函數(shù)值，比較，可得最小值；
（3）運用分析法證明，要證$ln\frac{e^2}{x}≤\frac{1+x}{x}$，即為2-lnx≤1+$\frac{1}{x}$，即有1-lnx-$\frac{1}{x}$≤0．設g（x）=1-lnx-$\frac{1}{x}$，求出導數(shù)和單調區(qū)間，可得極值，也為最值，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\frac{x-1}{x}-lnx$的導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，x＞0，
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
則f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）由（1）可得f（x）在x=1處取得極大值，且為最大值0，
又f（$\frac{1}{e}$）=1-e-ln$\frac{1}{e}$=2-e，f（e）=1-$\frac{1}{e}$-lne=-$\frac{1}{e}$，2-e＜-$\frac{1}{e}$，
可得f（x）的最小值為2-e；
（3）證明：要證$ln\frac{e^2}{x}≤\frac{1+x}{x}$，
即證lne²-lnx≤1+$\frac{1}{x}$，即為2-lnx≤1+$\frac{1}{x}$，
即有1-lnx-$\frac{1}{x}$≤0．
設g（x）=1-lnx-$\frac{1}{x}$，
g′（x）=-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
可得g（x）在x=1處取得極大值，且為最大值0．
可得g（x）≤0，即有1-lnx-$\frac{1}{x}$≤0．
故原不等式$ln\frac{e^2}{x}≤\frac{1+x}{x}$成立．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間和極值、最值，考查不等式的證明，注意運用分析法，構造函數(shù)法，求得最值，考查化簡整理運算能力，屬于中檔題．