4．在正三棱錐P-ABC中，若AB=PA=a，則側棱PA與底面ABC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，作出側棱PA與底面ABC所成的角，利用三角形的邊角關系求出對應的余弦值．

解答 解：如圖所示，
正三棱錐P-ABC中，AB=PA=a，
作PO⊥平面ABC，垂足為O，
連接AO，并延長交BC于點D，
∴∠PAD是PA與平面ABC所成的角，
且O是正三角形ABC的中心；
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴AO=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴cos∠PAD=$\frac{AO}{PA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即側棱PA與底面ABC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了直線與平面所成的角的計算問題，也考查了空間想象能力與三角形邊角關系的計算能力，是基礎題目．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．已知函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x）tanx+$\frac{cos（2π-x）tan（-x+\frac{π}{2}）}{cot（-π+x）}$．
（1）化簡f（x）；
（2）若x是三角形的一個內(nèi)角，且f（x）=$\frac{1}{5}$，求tanx；
（3）若x是三角形的一個內(nèi)角，且f（$\frac{π}{6}$-x）=$\frac{1}{3}$，求f（$\frac{5π}{6}$+x）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

15．已知矩形ABCD中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，將矩形ABCD沿對角線AC折起，使平面ABC與平面ACD垂直，則B與D之間的距離為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

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12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，點E，F(xiàn)，G分別為PB，PA，BC的中點．
（1）求證：PD⊥EF；
（2）求證：PD∥平面EFG；
（3）求二面角A-EG-F的度數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

19．將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=$\sqrt{2}$．
（1）證明：BD⊥CE；
（2）求AE與平面BDE所成角的大�。�
（3）直線BE上是否存在一點M，使得CM∥平面ADE，若存在，求點M的位置，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．已知數(shù)列{an}的通項為an，前n項和為Sn，且an是Sn與2的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}中，b1=1，點P（bn，bn+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；
（2）求$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$的和；
（3）設數(shù)列{bn}的前n項和為Bn，試比較$\frac{1}{{B}_{1}}$+$\frac{1}{{B}_{2}}$+…+$\frac{1}{{B}_{n}}$與2的大小（放縮法）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

16．已知直線l1：y=k（x-1）與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）交于M、N兩點，點P是線段MN的中點，且直線OP的斜率為-$\frac{3}{4k}$（k∈R，k≠0），其中O為坐標原點．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若橢圓C的焦距為2c=2，AB是直線l2：y=kx與橢圓C相交所得的弦，試判斷$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$是否為定值？若是定值，請求出這個定值；若不是定值，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．某茶廠現(xiàn)有三塊茶園，每塊茶園的茶葉估值為6萬元．根據(jù)以往經(jīng)驗：今年5月12日至14日是采茶的最佳時間，在此期間，若遇到下雨，當天茶園的茶葉估值減少為前一天的一半．現(xiàn)有兩種采摘方案：
方案①：茶廠不額外聘請工人，一天采摘一塊茶園的茶葉；
方案②：茶廠額外聘請工人，在12日采摘完全部茶葉，額外聘請工人的成本為3.2萬元．
根據(jù)天氣預報，該地區(qū)5月12日不降雨，13日和14日這兩天降雨的概率均為40%．每天是否下雨不相互影響．
（Ⅰ）若采用方案①，求茶廠14日當天采茶的預期收益；
（Ⅱ）從統(tǒng)計學的角度分析，茶廠采用哪種方案更合理．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

4．已知斜線段長是它在平面上的射影長的2倍，則斜線與平面所成的角為60°．

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同步練習冊答案