Question

16．已知直線l₁：y=k（x-1）與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）交于M、N兩點，點P是線段MN的中點，且直線OP的斜率為-$\frac{3}{4k}$（k∈R，k≠0），其中O為坐標原點．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若橢圓C的焦距為2c=2，AB是直線l₂：y=kx與橢圓C相交所得的弦，試判斷$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$是否為定值？若是定值，請求出這個定值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線l₁和橢圓C的方程，并整理成關于x的一元二次方程，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據(jù)韋達定理便能求出x₁+x₂，y₁+y₂，從而得到P點坐標P（$\frac{{a}^{2}{k}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}，\frac{-^{2}k}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$），從而根據(jù)OP的斜率$-\frac{3}{4k}$即可求出該橢圓的離心率；
（2）根據(jù)橢圓的焦距及離心率即可求出橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，聯(lián)立直線l₁的方程，用上韋達定理及弦長公式即可求出|MN|，同樣的辦法求出|AB|²，從而計算$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$，即可判斷該值是否為定值．

解答 解：（1）直線l₁的方程y=k（x-1）帶入橢圓方程并整理得：
$（\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{{k}^{2}}{^{2}}）{x}^{2}-\frac{2{k}^{2}}{^{2}}x+\frac{{k}^{2}}{^{2}}-1=0$；
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}{k}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2^{2}k}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$；
∴$P（\frac{{a}^{2}{k}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}，\frac{-^{2}k}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}）$；
∴OP的斜率為$-\frac{^{2}}{{a}^{2}k}=-\frac{3}{4k}$；
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$；
∴橢圓C的離心率$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（2）2c=2，∴c=1，a=2，b²=3；
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0；
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$；
∴$|MN|=\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{4（4{k}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得，${x}^{2}=\frac{12}{3+4{k}^{2}}$；
設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），則：${x}_{3}+{x}_{4}=0，{x}_{3}{x}_{4}=\frac{-12}{3+4{k}^{2}}$；
∴$|AB{|}^{2}=（1+{k}^{2}）•（0+\frac{48}{3+4{k}^{2}}）$=$\frac{48（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$；
∴$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}=4$；
即$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$為定值，且定值為4．

點評 考查橢圓的標準方程，橢圓離心率、焦距的概念，及a²=b²+c²，韋達定理，中點坐標公式，以及直線斜率的概念及求法，弦長公式．