Question

9．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=a＞0，a≠1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{1+{a}_{n}}$，數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足a_nb_n=1-a_n．
（1）求證：{b_n}為等比數(shù)列，并求a_n；
（2）試確定a_n+1和a_n的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明{b_n}為等比數(shù)列，并求a_n；
（2）利用作差法進(jìn)行比較即可．

解答 解：（1）∵a₁=a＞0，a≠1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{1+{a}_{n}}$，
∴a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，
∵數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足a_nb_n=1-a_n．
∴b_n=$\frac{1-{a}_{n}}{{a}_{n}}$，
則n≥2時(shí)，$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{1-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$•$\frac{{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$=$\frac{1-\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}}{\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}}$•$\frac{{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$=$\frac{1-{a}_{n}}{2{a}_{n}}$•$\frac{{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
則{b_n}為等比數(shù)列，公比q=$\frac{1}{2}$，
首項(xiàng)為$\frac{1-{a}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{1-a}{a}$，
則b_n=$\frac{1-a}{a}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即$\frac{1-{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1-a}{a}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
則$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{1-a}{a}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1-a}{a}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
則a_n=$\frac{1}{1+\frac{1-a}{a}•（\frac{1}{2}）^{n-1}}$=$\frac{{2}^{n-1}a}{1-a+a•{2}^{n-1}}$．
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1-a}{a•{2}^{n}}$，
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1-a}{a•{2}^{n}}$＞0，即a_n+1＞a_n，
當(dāng)a＞1時(shí)，$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1-a}{a•{2}^{n}}$＜0，即a_n+1＜a_n．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用，利用等比數(shù)列的定義是解決本題的關(guān)鍵．