Question

16．如圖所示，已知C為圓${（{x+\sqrt{2}}）^2}$+y²=4的圓心，點A（${\sqrt{2}$，0），P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP所在直線上，且$\overrightarrow{MQ}$•$\overrightarrow{AP}$=0，$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{AM}$．當點P在圓上運動時，則點Q的軌跡方程為x²-y²=1．

Answer 1

分析 由題意可得QM是線段PA的垂直平分線，PC=QC-QA=2，可得點Q的軌跡是以C（-$\sqrt{2}$，0），A（$\sqrt{2}$，0）為焦點，長軸長為2的雙曲線，由此能求出點Q的軌跡方程．

解答 解：由題意可得C（-$\sqrt{2}$，0），圓C的半徑為2，M為線段AP的中點，且QM⊥AP，即QM是線段PA的垂直平分線，
故有QP=QA．
∵PC=2，故有PC=QC-QP=QC-QA=2，故點Q在以C、A為焦點的雙曲線上，
且2a=1，∴a=1，又c=$\sqrt{2}$，∴b=$\sqrt{{c}^{2}{-a}^{2}}$=1．
設點Q的坐標為（x，y），則雙曲線的方程為 $\frac{{x}^{2}}{1}$-$\frac{{y}^{2}}{{1}^{2}}$=1，即 x²-y²=1，
故答案為：x²-y²=1．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，解題時要認真審題，注意橢圓、圓的簡單性質的合理運用，屬于中檔題．