Question

8．已知圓C的圓心在坐標原點，且與直線l₁：x-y-2$\sqrt{2}$=0相切．
（1）過點G（1，3）作兩條與圓C相切的直線，切點分別為M，N，求直線MN的方程；
（2）若與直線l₁垂直的直線l與圓C交于不同的兩點P，Q，且∠POQ為鈍角，求直線l的縱截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意求出圓心（0，0）到直線l₁：x-y-2$\sqrt{2}$=0的距離，可得圓的半徑長，得到圓的方程，連接OG，OM，由題意知|OG|=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$，|GM|=$\sqrt{O{G}^{2}-O{M}^{2}}=\sqrt{6}$，從而求得以G為圓心，|GM|為半徑的圓的方程為（x-1）²+（y-3）²=6，再利用圓系方程可得直線MN的方程是x+3y-4=0；
（2）直線l₁的斜率為1，且l⊥l₁，可得直線l的斜率為-1，設直線l的方程為y=-x+b，聯(lián)立圓的方程與直線方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系可得P，Q兩點橫坐標的和與積，結合∠POQ為鈍角，得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，從而可得直線l的縱截距的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，圓心（0，0）到直線l₁：x-y-2$\sqrt{2}$=0的距離為圓的半徑長r，
即$r=\frac{|0-0-2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=2$，
∴圓C的標準方程為x²+y²=4．
連接OG，OM，由題意知|OG|=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$，|GM|=$\sqrt{O{G}^{2}-O{M}^{2}}=\sqrt{6}$，
∴以G為圓心，|GM|為半徑的圓的方程為（x-1）²+（y-3）²=6  ①，
又圓C的方程為x²+y²=4  ②，
由①-②得直線MN的方程是x+3y-4=0；
（2）∵直線l₁的斜率為1，且l⊥l₁，∴直線l的斜率為-1，設直線l的方程為y=-x+b，
則與圓C的方程x²+y²=4 聯(lián)立，化簡得2x²-2bx+b²-4=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程2x²-2bx+b²-4=0的兩個不同的根，
故x₁+x₂=b，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{^{2}-4}{2}$  ③，
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得-2$\sqrt{2}$＜b＜$2\sqrt{2}$．
∵∠POQ為鈍角，∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b，
∴${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=2{x}_{1}{x}_{2}-b（{x}_{1}+{x}_{2}）+^{2}$＜0  ④，
由③④得b²＜4，即-2＜b＜2，滿足△＞0．
當$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OQ}$反向共線時，直線y=-x+b過原點，此時b=0，不符合題意，
故直線l的縱截距的取值范圍是-2＜b＜2，且b≠0．

點評 本題考查直線與圓的位置關系的應用，訓練了利用圓系方程求兩圓公共弦所在的直線方程，考查了平面向量的數(shù)量積運算，是中檔題．