Question

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距為$2\sqrt{3}$，且右焦點(diǎn)F與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形．若直線l與橢圓C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且在橢圓C上存在點(diǎn)M，使得：$\overrightarrow{OM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱直線l具有性質(zhì)H．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l垂直于x軸，且具有性質(zhì)H，求直線l的方程；
（3）求證：在橢圓C上不存在三個(gè)不同的點(diǎn)P、Q、R，使得直線PQ、QR、RP都具有性質(zhì)H．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的焦距為$2\sqrt{3}$，右焦點(diǎn)F與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線l：x=t，（-2＜t＜2），則A（t，y₁），B（t，y₂），設(shè)M（x_m，y_m），求出${x}_{m}=\frac{7}{5}t$，${y}_{m}=\frac{3}{5}{y}_{1}+\frac{4}{5}{y}_{2}$=-$\frac{1}{5}{y}_{1}$，由點(diǎn)M在橢圓C上，能求出直線l的方程．
（3）假設(shè)在橢圓C上存在三個(gè)不同的點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x₃，y₃），使得直線PQ、QR、RP都具有性質(zhì)H，利用反證法推導(dǎo)出相互矛盾結(jié)論，從而能證明在橢圓C上不存在三個(gè)不同的點(diǎn)P、Q、R，使得直線PQ、QR、RP都具有性質(zhì)H．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距為$2\sqrt{3}$，∴c=$\sqrt{3}$，
∵右焦點(diǎn)F與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，∴c=$\sqrt{3}b$，解得b=1，
∴a²=b²+c²=4，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)直線l：x=t，（-2＜t＜2），則A（t，y₁），B（t，y₂），
其中y₁，y₂滿足：${y}^{2}=1-\frac{{t}^{2}}{4}$，y₁+y₂=0，
設(shè)M（x_m，y_m），
∵$\overrightarrow{OM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
∴${x}_{m}=\frac{7}{5}t$，${y}_{m}=\frac{3}{5}{y}_{1}+\frac{4}{5}{y}_{2}$=-$\frac{1}{5}{y}_{1}$，
∵點(diǎn)M在橢圓C上，∴$\frac{49{t}^{2}}{100}+（-\frac{1}{5}{y}_{1}）^{2}=1$，
∴49t²+4-t²=100，∴t=$±\sqrt{2}$，
∴直線l的方程為x=$\sqrt{2}$或x=-$\sqrt{2}$．
證明：（3）假設(shè)在橢圓C上存在三個(gè)不同的點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x₃，y₃），
使得直線PQ、QR、RP都具有性質(zhì)H，
∵直線PQ具有性質(zhì)H，∴在橢圓C上存在點(diǎn)M，使得：$\overrightarrow{OM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}$，
設(shè)M（x_m，y_m），則${x}_{m}=\frac{3}{5}{x}_{1}+\frac{4}{5}{x}_{2}$，y_m=$\frac{3}{5}{y}_{1}+\frac{4}{5}{y}_{2}$，
∵點(diǎn)M在橢圓上，∴$\frac{（\frac{3}{5}{x}_{1}+\frac{4}{5}{x}_{2}）^{2}}{4}$+（$\frac{3}{5}{y}_{1}+\frac{4}{5}{y}_{2}$）²=1，
又∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+{{y}_{2}}^{2}=1$，∴$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}+{y}_{1}{y}_{2}$=0，①
同理：$\frac{{x}_{2}{x}_{3}}{4}+{y}_{2}{y}_{3}$=0，②，$\frac{{x}_{3}{x}_{1}}{4}+{y}_{3}{y}_{1}=0$，③
1）若x₁，x₂，x₃中至少一個(gè)為0，不妨設(shè)x₁=0，則y₁≠0，
由①③得y₂=y₃=0，即Q，R為長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則②不成立，矛盾．
2）若x₁，x₂，x₃均不為0，則由①②③得$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}{{x}_{3}}^{2}}{64}$=-${{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}{{y}_{3}}^{2}$＞0，矛盾．
∵在橢圓C上不存在三個(gè)不同的點(diǎn)P、Q、R，使得直線PQ、QR、RP都具有性質(zhì)H．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查在橢圓C上不存在三個(gè)不同的點(diǎn)P、Q、R，使得直線PQ、QR、RP都具有性質(zhì)H的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)和反證法的合理運(yùn)用．