Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+a，\;\;\;\;\;\;x≤0\\|{\frac{1-x}{2（x+1）}}|，\;\;x＞0.\end{array}$若函數(shù)g（x）=f（x）-x恰有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是$（0，+∞）∪\{-\frac{1}{4}\}$．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+a，\;\;\;\;\;\;x≤0\\|{\frac{1-x}{2（x+1）}}|，\;\;x＞0.\end{array}$的圖象，若函數(shù)g（x）=f（x）-x恰有兩個零點，則函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有且只有兩個交點，數(shù)形結合可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+a，\;\;\;\;\;\;x≤0\\|{\frac{1-x}{2（x+1）}}|，\;\;x＞0.\end{array}$的圖象如下圖所示：

當x＞0時，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有且只有一個交點，
即函數(shù)g（x）=f（x）-x恰有一個零點，
故x≤0時，函數(shù)g（x）=f（x）-x也恰有一個零點，
即x≤0時，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有且只有一個交點，
故a＞0，y=x與y=-x²+a相切，
解得：a=-$\frac{1}{4}$，
故實數(shù)a的取值范圍是：$（0，+∞）∪\{-\frac{1}{4}\}$，
故答案為：$（0，+∞）∪\{-\frac{1}{4}\}$

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的圖象和性質，數(shù)形結合思想，函數(shù)的零點，難度中檔．