Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-4x}{2x-1}，x∈[0，\frac{1}{4}]}\\{\frac{1}{2}lo{g}_{2}x-3，x∈（\frac{1}{4}，1]}\end{array}\right.$，g（x）=x³-3ax²-2a（a≥1），若對(duì)于任意x₁∈[0，1]總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\frac{3}{2}$）
• B． （1，$\frac{3}{2}$]
• C． [1，$\frac{3}{2}$）
• D． [1，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 根據(jù)分式函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的取值范圍，求函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)g′（x），判斷函數(shù)g（x）在[0，1]上的單調(diào)性，根據(jù)條件對(duì)于任意x₁∈[0，1]總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：當(dāng)0≤x≤$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）=$\frac{3-4x}{2x-1}$=$\frac{-4x+2+1}{2x-1}$=-2+$\frac{1}{2x-1}$∈[-4，-3]，
當(dāng)$\frac{1}{4}$＜x≤1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$log₂x-3∈（-4，-3]，
綜上當(dāng)x∈[0，1]時(shí)f（x）∈[-4，-3]，
g（x）的導(dǎo)數(shù)g′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），
由g′（x）=0得x=0或x=2a，
∵a≥1，∴2a≥2，
則當(dāng)0≤x≤1時(shí)，]，g′（x）≤0；
故g（x）=x³-3a²x-2a在[0，1]上是減函數(shù)，
則g（0）=-2a，g（1）=1-3a²-2a，
即-3a²-2a+1≤g（x）≤-2a
又∵f（x）的值域?yàn)閇-4，-3]；
若對(duì)于任意x₁∈[0，1]總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，
∴g（1）≤-4且g（0）≥-3；
即$\left\{\begin{array}{l}{-3{a}^{2}-2a+1≤-4}\\{-2a≥-3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3{a}^{2}+2a-5≥0}\\{a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{a≥1或a≤-\frac{5}{3}}\\{a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，得1≤a≤$\frac{3}{2}$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，$\frac{3}{2}$]，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題以及函數(shù)值域的求法，根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式求出函數(shù)的值域以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．