Question

8．已知直線l：2x+y-3=0與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩支分別相交于P，Q兩點，O為坐標原點，若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，則$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 作出對應(yīng)的圖象，根據(jù)條件得到△OPQ是直角三角形，結(jié)合點到直線的距離以及直角三角形的邊角關(guān)系以及勾股定理進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：作出對應(yīng)的圖象，
若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，則OP⊥OQ，
即△OPQ是直角三角形，
原點O到直線的距離d=OM=$\frac{|-3|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
且|OP|²+|OQ|²=|PQ|²，
∵|PQ||OM|=|OP||OQ|，
∴$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{|OP{|}^{2}+|OQ{|}^{2}}{（|OP||OQ|）^{2}}$=$\frac{|PQ{|}^{2}}{（|PQ||OM|）^{2}}$=$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$=$\frac{1}{（\frac{3}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{5}{9}$，
故答案為：$\frac{5}{9}$．

點評 本題主要考查直線和雙曲線相交的應(yīng)用，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理以及點到直線的距離公式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．