Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

3-x-a，x≤0 f(x-1)，x＞0

，若f（x）=x有且僅有三解，則a的取值范圍是（　�。�

• A、[0，2]
• B、（-∞，2）
• C、（-∞，1]
• D、[0，+∞）

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程g（x）-x-a=0有三個實根時，實數(shù)a的取值范圍，我們可以轉(zhuǎn)化求函數(shù)y=g（x）與函數(shù)y=x+a的圖象有三個交點時實數(shù)a的取值范圍，作出兩個函數(shù)的圖象，通過圖象觀察法可得出a的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)0＜x≤1時，-1＜x-1≤0，則f（x-1）=3^1-x-a，即f（x）=3^1-x-a，
同樣可得1＜x≤2，f（x）=3^2-x-a；當(dāng)2＜x≤3，f（x）=3^3-x-a，
…
∴f（x）=x有且僅有三解等價于y=x+a與y=g（x）=

3-x，x≤0 g(x-1)，x＞0

的圖象有且只有三個交點．
畫出g（x）的圖象和直線y=x+a，（當(dāng)x＞0時，函數(shù)的圖象呈現(xiàn)周期性變化）
由圖可知
（1）當(dāng)a≥3時，兩個圖象有且只有一個公共點；
（2）當(dāng)2≤a＜3時，兩個圖象有兩個公共點；
（3）當(dāng)a＜2時，兩個圖象有三個公共點；
即當(dāng)a＜2時，f（x）=x+a有三個實解
故選B．

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，根據(jù)方程的根即為對應(yīng)函數(shù)零點，將本題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點個數(shù)，進而利用圖象法進行解答是解答本題的關(guān)鍵．