Question

10．已知函數f（x）=lnx，
（1）若f（x）≥$\frac{t}{x}$-lnx （t為實數）恒成立，求t的取值范圍；
（2）當m＞0時，討論F（x）=f（x）+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{m}^{2}+1}{m}$x在區(qū)間（0，2）上極值點的個數．

Answer 1

分析 （1）不等式要恒成立，即要當x大于0時，t小于等于一個關系式，設這個關系式為一個函數h（x），求出h（x）的導函數，令導函數等于0求出x的值，利用x的值分區(qū)間討論導函數的正負，得到函數h（x）的單調區(qū)間，根據函數的增減性得到h（x）的最小值，進而得到t的取值范圍；
（2）求出F（x）的導函數，令導函數等于0，得到x+$\frac{1}{x}$等于一個關系式，設y=x+$\frac{1}{x}$，且x大于0小于2，畫出該函數的圖象，如圖所示，然后分m=1，m大于$\frac{1}{2}$小于2，m大于0小于等于$\frac{1}{2}$和m大于等于2，四種情況，根據函數的圖象，即可得到相應區(qū)間上極值點的個數．

解答 解：（1）若f（x）≥$\frac{t}{x}$-lnx （t為實數）恒成立，
因為x＞0，
所以只需要t≤2xlnx在（0，+∞）恒成立即可，
令h（x）=2xlnx，則h′（x）=2（1+lnx），
當x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，h′（x）＜0，
所以h（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上是減函數，
當x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，h′（x）＞0，
所以h（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）上是增函數，
所以h（x）_min=h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{2}{e}$，
所以t≤-$\frac{2}{e}$；
（2）由已知得F（x）=lnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{m}^{2}+1}{m}$x，
所以F′（x）=$\frac{1}{x}$+x-$\frac{{m}^{2}+1}{m}$，
令F′（x）=0，得到$\frac{1}{x}$+x=$\frac{{m}^{2}+1}{m}$，
令y=x+$\frac{1}{x}$，x∈（0，2），
畫出該函數的圖象，如圖所示：

①當 $\frac{{m}^{2}+1}{m}$=2，即m=1時，F′（x）=0在區(qū)間（0，2）上只有一個根1，
此時F（x）在（0，2）上無極值點；
②當2＜$\frac{{m}^{2}+1}{m}$＜$\frac{5}{2}$，即$\frac{1}{2}$＜m＜2，且m≠1時，F′（x）=0在區(qū)間（0，2）上有兩個不等根，
不妨設為x₁，x₂，且x₁＜x₂，從圖象上看在x₁和x₂兩側F′（x）都是異號的，
因此x₁和x₂都是F（x）的極值點，此時F（x）在（0，2）上有兩個極值點；
③當 $\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜2}\\{\frac{1}{m}≥2}\end{array}\right.$，即0＜m≤$\frac{1}{2}$時，方程在區(qū)間（0，2）上只有一個根m，
由該方程所對應的二次函數圖象可知，F′（x）在m兩側的符號不同，
因此函數F（x）在區(qū)間（0，2）上只有一個極值點；
④當 $\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{1}{m}＜2}\\{m≥2}\end{array}\right.$，即m≥2時，方程在區(qū)間（0，2）上只有一個根$\frac{1}{m}$，
由該方程所對應的二次函數圖象可知，F′（x）在$\frac{1}{m}$兩側的符號不同，
因而函數F（x）在區(qū)間（0，2）上只有一個極值點，
綜上，當m=1時，函數F（x）在區(qū)間（0，2）上無極值點；
當m∈（0，$\frac{1}{2}$）∪[2，+∞）時，函數F（x）在區(qū)間（0，2）上有一個極值點；
當m∈（$\frac{1}{2}$，1）∪（1，2）時，函數F（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個極值點．

點評 此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的極值，掌握導數在最大值、最小值問題中的應用，考查了分類討論和數形結合的數學思想，是一道綜合題．