Question

11．已知a∈R，函數(shù)f（x）=（-x²+ax）•e^x．
（1）a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出a=2的函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x）≥0在（-1，1）上恒成立，即為a-x²+（a-2）x≥0，即有x²-（a-2）x-a≤0，再由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到不等式組，即可解得a的范圍．

解答 解：（1）a=2時(shí)，f（x）=（-x²+2x）•e^x的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=e^x（2-x²），
由f′（x）＞0，解得-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
由f′（x）＜0，解得x＜-$\sqrt{2}$或x＞$\sqrt{2}$．
即有函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞），
單調(diào)增區(qū)間為（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
（2）函數(shù)f（x）=（-x²+ax）•e^x的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=e^x[a-x²+（a-2）x]，
由函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，
則有f′（x）≥0在（-1，1）上恒成立，
即為a-x²+（a-2）x≥0，即有x²-（a-2）x-a≤0，
則有1+（a-2）-a≤0且1-（a-2）-a≤0，
解得a≥$\frac{3}{2}$．
則有a的取值范圍為[$\frac{3}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和判斷單調(diào)性，屬于中檔題和易錯(cuò)題．