A. | 銳角三角形 | B. | 鈍角三角形 | ||
C. | 直角三角形 | D. | 上述三種情況都有可能 |
分析 在△ABC中,G,O分別為△ABC的重心和外心,取BC的中點(diǎn)為D,連接AD、OD、GD,運(yùn)用重心和外心的性質(zhì),運(yùn)用向量的三角形法則和中點(diǎn)的向量形式,以及向量的平方即為模的平方,可得${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}=-30$,又BC=5,則有|$\overrightarrow{AB}$|2=|$\overrightarrow{AC}$|2+$\frac{6}{5}$|$\overrightarrow{BC}$|2>|$\overrightarrow{AC}$|2+|$\overrightarrow{BC}$|2,運(yùn)用余弦定理即可判斷三角形的形狀.
解答 解:在△ABC中,G,O分別為△ABC的重心和外心,
取BC的中點(diǎn)為D,連接AD、OD、GD,如圖:
則OD⊥BC,GD=$\frac{1}{3}$AD,
∵$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}$,$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$,
由$\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{BC}$=5,
則($\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}$)$•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DG}•\overrightarrow{BC}$
=-$\frac{1}{6}$$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$•$\overrightarrow{BC}$=5,
即-$\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$•($\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$)=5,
則${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}=-30$,
又BC=5,
則有|$\overrightarrow{AB}$|2=|$\overrightarrow{AC}$|2+$\frac{6}{5}$|$\overrightarrow{BC}$|2>|$\overrightarrow{AC}$|2+|$\overrightarrow{BC}$|2,
由余弦定理可得cosC<0,
即有C為鈍角.
則三角形ABC為鈍角三角形.
故選:B.
點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)用,主要考查向量的三角形法則和向量的平方即為模的平方,運(yùn)用余弦定理判斷三角形的形狀是解題的關(guān)鍵.
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A. | $\frac{\sqrt{2}}{3}$ | B. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | D. | $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ |
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A. | 拋物線 | B. | 雙曲線 | C. | 橢圓 | D. | 直線 |
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