Question

9．在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似地服從正態(tài)分布N（70，100）．已知成績在90分以上的學(xué)生有12人．
（1）試問此次參賽學(xué)生的總數(shù)約為多少人？
（2）若成績在80分以上（含80分）為優(yōu)，試問此次競賽成績?yōu)閮?yōu)的學(xué)生約為多少人？

Answer 1

分析 （1）設(shè)出參賽人數(shù)的分?jǐn)?shù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)符合正態(tài)分布，根據(jù)成績在90分以上的學(xué)生有12人，求出大于90分的學(xué)生的概率，列出比例式，得到參賽的總?cè)藬?shù)．
（2）求出P（X≥80），再乘以參賽學(xué)生的總數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)參賽學(xué)生的成績?yōu)閄，因?yàn)閄～N（70，100），所以μ=70，σ=10
則P（X≥90）=P（X≤50）=$\frac{1}{2}$[1-P（50＜X＜90）]
=$\frac{1}{2}$[1-P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）]=$\frac{1}{2}$×（1-0.954 4）=0.022 8，
12÷0.022 8≈526（人）．
因此，此次參賽學(xué)生的總數(shù)約為526人．
（2）由P（X≥80）=P（X≤60）=$\frac{1}{2}$[1-P（60＜X＜80）]
=$\frac{1}{2}$[1-P（μ-σ＜X＜μ+σ）]=$\frac{1}{2}$×（1-0.682 6）
=0.158 7，得526×0.158 7≈83．
因此，此次競賽成績?yōu)閮?yōu)的學(xué)生約為83人．

點(diǎn)評 本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題．