Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x}+lnx$
（1）求函數(shù)在x=e處的切線方程
（2）寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和最值．

Answer 1

分析 （1）分別求出f（e），f′（e），代入直線方程整理即可；（2）解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x}+lnx$，定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∴f′（e）=$\frac{e-1}{{e}^{2}}$，f（e）=1+$\frac{1}{e}$，
∴切線方程：y-1=$\frac{1}{e}$=$\frac{e-1}{{e}^{2}}$（x-e），
整理得：（e-1）x-e²y+2e=0；
（2）令f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$＞0，
解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴單調(diào)增區(qū)間（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間（0，1），
最小值為1，無最大值．

點評 本題考查了求曲線的切線方程問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道基礎(chǔ)題．