Question

20．已知雙曲線的一個焦點(diǎn)F（0，5），它的漸近線方程為y=±2x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{20}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1．

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），求出漸近線方程，由題意可得c=5，a=2b，再由a，b，c的關(guān)系可得a，b，即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=5，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得$\frac{a}$=2，即a=2b，
又a²+b²=c²，
解得a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，
即有雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{20}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{20}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．