Question

1．已知y=f（x）為R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且xf′（x）+f（x）＞0，則函數(shù)g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 0或1
• D． 無數(shù)個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，得到xf（x）=-1，（x＞0），構(gòu)造函數(shù)h（x）=xf（x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍進(jìn)行求解即可．

解答 解：由g（x）=xf（x）+1=0得，xf（x）=-1，（x＞0），
設(shè)h（x）=xf（x），
則h′（x）=f（x）+xf′（x），
∵xf′（x）+f（x）＞0，
∴h′（x）＞0，即函數(shù)在x＞0時(shí)為增函數(shù)，
∵h(yuǎn)（0）=0•f（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＞h（0）=0，
故h（x）=-1無解，
故函數(shù)g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．