分析 不妨設(shè)AC=1,則AD=$\frac{1}{3}AB$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$,BD=$\frac{2}{3}AB$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,在△BCD中,由余弦定理可得:CD2=$(\frac{2\sqrt{2}}{3})^{2}+{1}^{2}-2×\frac{2\sqrt{2}}{3}×1×cos4{5}^{°}$=$\frac{5}{9}$,解得CD.由余弦定理可得:cos∠BCD.在△BCE中,由余弦定理可得BE.由余弦定理可得:cos∠CBE.
解答 解:在腰直角△ABC中,不妨設(shè)AC=1,則AD=$\frac{1}{3}AB$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$,BD=$\frac{2}{3}AB$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
在△BCD中,由余弦定理可得:CD2=$(\frac{2\sqrt{2}}{3})^{2}+{1}^{2}-2×\frac{2\sqrt{2}}{3}×1×cos4{5}^{°}$=$\frac{5}{9}$,解得CD=$\frac{\sqrt{5}}{3}$.
由余弦定理可得:cos∠BCD=$\frac{{1}^{2}+(\frac{\sqrt{5}}{3})^{2}-(\frac{2\sqrt{2}}{3})^{2}}{2×1×\frac{\sqrt{5}}{3}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
在△BCE中,由余弦定理可得:BE2=${1}^{2}+(\frac{2\sqrt{5}}{3})^{2}$-$2×1×\frac{2\sqrt{5}}{3}$cos∠BCE=$\frac{17}{9}$,解得BE=$\frac{\sqrt{17}}{3}$.
由余弦定理可得:cos∠CBE=$\frac{\frac{17}{9}+1-(\frac{2\sqrt{5}}{3})^{2}}{2×\frac{\sqrt{17}}{3}×1}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$.
∴DE=$\frac{\sqrt{5}}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理、等腰直角三角形的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | (-$\frac{9}{5}$,$\frac{7}{5}$) | B. | ($\frac{9}{2}$,-$\frac{7}{5}$) | C. | ($\frac{9}{5}$,$\frac{7}{5}$) | D. | (-$\frac{9}{2}$,-$\frac{7}{5}$) |
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A. | [$\frac{\sqrt{2}}{6}$,$\frac{1}{3}$) | B. | ($\frac{\sqrt{2}}{12}$,$\frac{1}{6}$] | C. | ($\frac{\sqrt{2}}{6}$,$\frac{1}{3}$] | D. | [$\frac{\sqrt{2}}{12}$,$\frac{1}{6}$) |
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