Question

10．如圖所示，四邊形ABCD中，AB=AD=2，△BCD為正三角形，設(shè)∠BAD=α（α∈（0，π））．
（1）當(dāng)α=$\frac{π}{2}$時，求$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$的值；
（2）[重點中學(xué)做]當(dāng)α為多少時，△ABC的面積S最大？并求S的最大值．
（3）[普通中學(xué)做]記△BCD的面積S=f（α），求函數(shù)g（α）=f（α）-2sinα的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計算即可，
（2）根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合三角函數(shù)輔助角公式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角形的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
（3）根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合三角函數(shù)輔助角公式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角形的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）設(shè)AC∩BD=0，則O是BD的中點，且AC⊥BD，
當(dāng)α=$\frac{π}{2}$時，AO=$\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{6}$，
則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）²-（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）•$\sqrt{2}$=2$\sqrt{3}$+6．
（2）由題意得BC=BD=4sin$\frac{α}{2}$，
則S=$\frac{1}{2}$AB•BCsin∠ABC=$\frac{1}{2}×2×4$sin$\frac{α}{2}$•sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{α}{2}$）=4sin$\frac{α}{2}$•sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{α}{2}$）=4sin$\frac{α}{2}$•（sin$\frac{π}{6}$cos$\frac{α}{2}$+cos$\frac{π}{6}$sin$\frac{α}{2}$）=4sin$\frac{α}{2}$•（$\frac{1}{2}$cos$\frac{α}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{α}{2}$）
=2sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$+2$\sqrt{3}$sin²$\frac{α}{2}$=sinα+$\sqrt{3}$（1-cosα）=2sin（α-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，
∵0＜α＜π，∴-$\frac{π}{3}$＜α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴當(dāng)α-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{5π}{6}$時，S取得最大值，此時S=2+$\sqrt{3}$．
（3）由題意得BC=BD=4sin$\frac{α}{2}$，
S=f（α）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4sin$\frac{α}{2}$）²=4$\sqrt{3}$•$\frac{1-cosα}{2}$=-2$\sqrt{3}$cosα+2$\sqrt{3}$，
則g（α）=-2$\sqrt{3}$cosα+2$\sqrt{3}$-2sinα=-4sin（α+$\frac{π}{3}$）+2$\sqrt{3}$，
∵0＜α＜π，∴$\frac{π}{3}$＜α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
∴當(dāng)α+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$時，g（α）取得最小值，
故g（α）=f（α）-2sinα的最小值為g（$\frac{π}{6}$）=2$\sqrt{3}$-4．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)向量數(shù)量積的公式以及輔助角公式進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．