Question

2．已知函數(shù)f（x）=alnx-$\frac{3}{2}$x+3（y=kx+2k），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=$\frac{1}{2}$x+b（b∈R）
（Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ） 求f（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=$\frac{1}{2}$x+b，可求a、b的值；
（Ⅱ）確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的極值．

解答 解：（Ⅰ）由$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{3}{2}$，則$f'（1）=a-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$，得a=2，
所以$f（x）=2lnx-\frac{3}{2}x+3$，$f（1）=\frac{3}{2}$，
把切點(diǎn)$（1，\frac{3}{2}）$代入切線方程有$\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+b$，解得b=1，
綜上：a=2，b=1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）有$f'（x）=\frac{2}{x}-\frac{3}{2}=\frac{4-3x}{2x}$，
當(dāng)0＜x＜$\frac{4}{3}$時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)$x＞\frac{4}{3}$時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
所以f（x）在$x=\frac{4}{3}$時(shí)取得極大值$f（\frac{4}{3}）=2ln\frac{4}{3}+1$，f（x）無極小值．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．